গুণনিয়ক ও গুণিতক এর ধারণাঃ
আমরা একটি সংখ্যা 30 কে যদি 5 দ্বারা ভাগ করি তাহলে ভাগফল কত হবে এবং ভাগশেষ কত থাকবে, তা’ অবশ্যই বলতে পারি।
আমরা নিশ্চয়ই বলতে পারি,ভাগফল হবে 6 এবং ভাগশেষ থাকবে শুন্য।
কিন্তু 31 কে যদি 5 দ্বারা ভাগ করি, তাহলে ভাগশেষ কি শূন্য হবে ,নিশ্চয়ই ভাগশেষ শূন্য হবে না। এক্ষেত্রে ভাগফল 6 এবং ভাগশেষ থাকবে 1।
অর্থাৎ প্রথম ক্ষেত্রে, ভাজ্য ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ভাজ্য ভাজক দ্বারা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।
এরকম আরো অনেক উদাহরণ দ্বারা আমরা দেখাতে পারি,কোনো- কোনো ক্ষেত্রে ভাজ্য ,ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় এবং কোনো- কোনো ক্ষেত্রে ভাজ্য, ভাজক দ্বারা নিঃশেষে সে বিভাজ্য হয় না।
যে সব ক্ষেত্রে ভাজ্য ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় ,অর্থাৎ ভাগশেষ শূন্য হয় সেসব ক্ষেত্রে ভাজ্য অথবা ভাগফলকে ভাজ্যের গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে।
আর যেসব ক্ষেত্রে ভাজ্য, ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয় অর্থাৎ ভাগশেষ শূন্য নয় সেক্ষেত্রে ভাজ্য অথবা ভাগফল ভাজ্যের গুণনীয়ক অথবা উৎপাদক নয়।
বিষয়টি কতগুলো উদাহরণের মাধ্যমে স্পষ্ট করা যাক্।
যেমনঃ
3o5= ভাগফল 6, ভাগশেষ ০,এক্ষেত্রে আমরা লিখতে পারি,30=56 অর্থাৎ এক্ষেত্রে 30কে দুইটি সংখ্যার গুণফল আকারে প্রকাশ করা সম্ভব হলো।
আবার 287=4 ,ভাগফল আকারে প্রকাশ করা সম্ভব হয়েছে ।
কিন্তু 315=ভাগফল 6,ভাগশেষ1,
অর্থাৎ 31=(56) +1, এক্ষেত্রে 31 কে 2 টি সংখ্যার গুনফল আকারে প্রকাশ করা সম্ভব হয়নি।
আরো কিছু উদাহরণ লক্ষ্য করলে আমরা দেখতে পাই,
3x2+2x=x(3x+2)
x2+6x+5=(x+3)(x+2)
a2-b2=(a+b)(a-b)
x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)
স্পষ্ট যে, প্রথম তিনটি রাশি, দুইটি রাশির গুণফল আকারে প্রকাশিত হয়েছে।
এবং শেষোক্ত রাশিটি তিনটি রাশির গুণফল আকারে প্রকাশিত হয়েছে।
সুতরাং এতক্ষণের আলোচনা থেকে আমরা উৎপাদক বা গুণনীয়ক এর জন্য একটি সংঙা আমরা দাড় করাতে পারি।
আর তা হচ্ছে, যদি কোন সংখ্যা বা রাশি অপর কোনো এক বা একাধিক সংখ্যা বা রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়,অর্থাৎ ভাজ্য রাশিটি যদি ভাজক বা ভাগফল রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় সেক্ষেত্রে ভাজক অথবা ভাগফল রাশিগুলোকে ভাজ্য রাশিটির গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে।
আমরা গুণনীয়ক বা উৎপাদকের ভিন্ন উপায়ে আরেকটি সংজ্ঞা ও দিতে পারি।
তা হচ্ছে,
যদি কোন রাশি বা সংখ্যাকে দুই বা ততোধিক রাশির গুণফল প্রকাশ করা যায় তখন ঐ দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটিকে ঐ সংখ্যা বা রাশির বা মূল রাশির এক একটি গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে।
যেমন উপরের উদাহরণগুলোতে 5 এবং 6, 30 এর একটি গুণনীয়ক বা উৎপাদক।
4 এবং 7, 28 এর একটি গুণনীয়ক বা উৎপাদক ,
কিন্তু 5 ও 6 ,31 এর গুননীয়ক বা উৎপাদক নয়. কারণ 31 কে 5 ও 6 এর গুণফল আকারে প্রকাশ করা সম্ভব হয়নি।
এইরুপে X, ও 3x+2 , 3x2+2x এর এক- একটি উৎপাদক।
(a+b) ও (a-b), a2-b2 এর এক -একটি উৎপাদক।
(x+3) ও (x+2) x2+6x+5 এর এক- একটি উৎপাদক।
উল্লেখ্য 1 এবং যে কোনো সংখ্যা ওই সংখ্যার গুননীয়ক বা উৎপাদক। কারণ 1 এবং যে কোনো সংখ্যা ঐ সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
উপরের আলোচনা থেকে আমরা স্পষ্ট করতে পারলাম যে, ভাজক অথবা ভাগফলকে ভাজ্যের গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে যদি ভাগশেষ শূন্য হয়।
তাহলে ভাজ্যকে ভাজক অথবা ভাগফলের কি ব্লা হবে, চলো আমরা তা বিশ্লেষণ করি।
লক্ষ্য কর, 3,6,9,12, 15,18,21, 24, 27…………….3x (এখানে x=1,2,3,4,5, 6…………….)ইত্যাদি সংখ্যাগুলো 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
এখানে 3,6,9,12, 15,18,21, 24, 27…………….3x এর প্রতিটি সংখ্যাই ভাজ্য এবং 3 ভাজক।
আবার 5, 10 15, 20 25 30 35 40,45……………..5x(এখানে x=1,2,3,4,5,6 ………….)ইত্যাদি সংখ্যাগুলো 5 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
এখানে 5, 10 15, 20 25 30 35 40,45……………..5x এর প্রতিটি সংখ্যাই ভাজ্য এবং 5 ভাজক।
এক্ষেত্রে আমরা লক্ষ্য করলে দেখতে পাই, প্রতিক্ষেত্রে ভাজ্যগুলো ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
এইরূপক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি, যে সকল ক্ষেত্রে ভাজ্যগুলো ভাজক দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য সে সকল ক্ষেত্রে ভাজ্যগুলোকে ভাজকের গুণিতক বলে।
সুতরাং 4এর গুণিতক এর সাধারণ রাশি হবে ,4x (x=1,2,3,4,5,............), কারণ, 4x আকারের সকল রাশি 4দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
সুতরাং 10 এর গুণিতক এর সাধারণ রাশি হবে 10x (x=1,2,3,4,5,............)কারণ, 10x আকারের সকল রাশি 10 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
সুতরাং এতক্ষণের আলোচনা থেকে আমরা বলতে পারি গুণনীয়ক বা উৎপাদক হচ্ছে সেই সংখ্যা বা রাশিগুলো যাদের দ্বারা অপর সংখ্যা বা রাশি নিঃশেষে বিভাজ্য।
বিপরীত ক্রমে গুণিতক হচ্ছে সেই সংখ্যাগুলো, যেই সংখ্যাগুলো ওপর কোনো সংখ্যা বা রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
যেমন 12 এর গুণিতক ঐ সংখ্যাগুলো যেগুলো 12 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
অপরপক্ষে 12 এর গুণনীয়ক সেই সংখ্যাগুলো যেগুলো দ্বারা 12 নিঃশেষে বিভাজ্য।
গুণনীয়ক ও গুণিতকের এই ধারণা বীজগণিতীয় রাশির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। যেমনঃ
x3 - a3 এর উৎপাদক, (x-a) এবং x2 +xa + a2
কারণ, এই দুইটি রাশি দ্বারা x3 - a3 রাশিটি নিঃশেষে বিভাজ্য।
কিন্তু x3 - a3 এর গুনিতক হবে, n(x3 - a3) আকারের কোনো রাশি যেখানে n=1,2,3,4,5………… ইত্যাদি।
পাঠের পরবর্তী অংশের জন্য নিম্নের ভিডিও লিংকে Click করুন Please
https://drive.google.com/file/d/1oxYI_MvhYAodPXPVF-fVwZEUE0HX2d6B/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1oxYI_MvhYAodPXPVF-fVwZEUE0HX2d6B/view?usp=sharing
পাঠটি আরো অধিক উপলব্দিযোগ্য হওয়ার জন্য Main Menueএর Tutorial(Vidoes)অংশে ক্লিক করেভিডিওটি দেখুন please
কোন মন্তব্য নেই
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন